1983 AMC 12 第 29 题

Question

点

P

与一个给定的边长为

1

的正方形共面。将正方形的顶点按逆时针顺序记为

A

、

B

、

C

、

D

。再令

P

到

A

、

B

、

C

的距离分别为

u

、

v

、

w

。若

u^2+v^2=w^2

，则

P

到

D

的最大可能距离是多少？

A point

P

lies in the same plane as a given square of side

1.

Let the vertices of the square, taken counterclockwise, be

A,

B,

C

and

D.

Also, let the distances from

P

to

A,

B

and

C,

respectively, be

u,

v

and

w.

What is the greatest distance that

P

can be from

D

if

u^2+v^2=w^2?

1+\sqrt2

2\sqrt2

2+\sqrt2

3\sqrt2

3+\sqrt2

答案：C

知识点：坐标几何圆距离公式最优化

难度评级：2310

小提示：

令

D=(0,0)

、

A=(1,0)

、

B=(1,1)

、

C=(0,1)

Place

D=(0,0),

A=(1,0),

B=(1,1),

and

C=(0,1)

大提示：

将

P=(x,y)

代入距离方程并配方

Substitute

P=(x,y)

into the distance equation and complete the square

解答：

令

D=(0,0)

、

A=(1,0)

、

B=(1,1)

、

C=(0,1)

，并令

P=(x,y)

。则

\begin{aligned} &(x-1)^2+y^2\\ &\quad+(x-1)^2+(y-1)^2\\ &=x^2+(y-1)^2 \end{aligned}\text{，}

化简得

(x-2)^2+y^2=2

。因此

P

位于一个圆上，该圆的圆心与

D

相距

2

，半径为

\sqrt2

。所以它到

D

的最大距离为

2+\sqrt2

。

所以正确答案是 C。

Place

D=(0,0),

A=(1,0),

B=(1,1),

and

C=(0,1),

with

P=(x,y).

Then

\begin{aligned} &(x-1)^2+y^2\\ &\quad+(x-1)^2+(y-1)^2\\ &=x^2+(y-1)^2, \end{aligned}

which simplifies to

(x-2)^2+y^2=2.

Thus

P

lies on a circle centered

2

units from

D

with radius

\sqrt2.

Its greatest distance from

D

is

2+\sqrt2.

Therefore, the correct answer is C.

1983 AMC 12 第 29 题

答案：C

难度评级：2310

小提示：

大提示：

解答：

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