1985 AMC 12 第 17 题

Question

矩形

ABCD

的对角线

DB

被分成三个长度均为

1

的线段，分割线是互相平行的直线

L

和

L'

。它们分别经过

A

和

C

，且都垂直于

DB

。

ABCD

的面积四舍五入到小数点后一位为

Diagonal

DB

of rectangle

ABCD

is divided into three segments of length

1

by parallel lines

L

and

L'

that pass through

A

and

C

and are perpendicular to

DB.

The area of

ABCD,

rounded to one decimal place, is

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

答案：B

知识点：面积对角线矩形向量

难度评级：2240

小提示：

设矩形的两条边长为

w,h

，则对角线长为

3

Let the rectangle’s side lengths be

w,h;

then its diagonal has length

3

大提示：

将竖直边和水平边投影到对角线上，得到

\frac{h^2}{3}=1

和

\frac{w^2}{3}=2

Project the vertical and horizontal sides onto the diagonal to obtain

\frac{h^2}{3}=1

and

\frac{w^2}{3}=2

解答：

设

D=(0,0)

、

B=(w,h)

、

A=(0,h)

，且

C=(w,0)

。因为

DB=3

，有

w^2+h^2=9

。

DA

在

DB

上的投影长为

\frac{h^2}{3}

，而第一段标记线段长为

1

，所以

h^2=3

。同理，

DC

的投影到达第二个分点，所以

\frac{w^2}{3}=2

，且

w^2=6

。因此面积为

wh=\sqrt{18}=3\sqrt2\approx4.2426\text{，}

四舍五入后为

4.2

。

因此正确答案是 B。

Let

D=(0,0),

B=(w,h),

A=(0,h)

and

C=(w,0).

Since

DB=3,

we have

w^2+h^2=9.

The projection of

DA

onto

DB

has length

\frac{h^2}{3},

and the first marked segment has length

1,

so

h^2=3.

Similarly, the projection of

DC

reaches the second division point, so

\frac{w^2}{3}=2

and

w^2=6.

Hence the area is

wh=\sqrt{18}=3\sqrt2\approx4.2426,

which rounds to

4.2.

Therefore the correct answer is B.

1985 AMC 12 第 17 题

答案：B

难度评级：2240

小提示：

大提示：

解答：

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