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1985 AMC 12 Problema 16

Intenta el Problema 16 del 1985 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1985 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

16.

Si

A=20^\circ

y

B=25^\circ,

entonces el valor de

(1+\tan A)(1+\tan B)

es

If

A=20^\circ

and

B=25^\circ,

then the value of

(1+\tan A)(1+\tan B)

is

\sqrt3

2

1+\sqrt2

2(\tan A+\tan B)

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:identidad trigonométrica trigonometría

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Usa

A+B=45^\circ

en la fórmula de adición de la tangente

Use

A+B=45^\circ

in the tangent addition formula

Pista grande:

Expresa

\tan A+\tan B

en términos de

\tan A\tan B

Express

\tan A+\tan B

in terms of

\tan A\tan B

Solución:

Como

\tan(A+B)=\tan45^\circ=1,

\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}=1,

por lo que

\tan A+\tan B

=1-\tan A\tan B.

Entonces

\begin{aligned} &(1+\tan A)(1+\tan B)\\ &\quad=1+(1-\tan A\tan B)\\ &\qquad+\tan A\tan B\\ &\quad=2. \end{aligned}

La respuesta correcta es B.

Because

\tan(A+B)=\tan45^\circ=1,

\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}=1,

so

\tan A+\tan B

=1-\tan A\tan B.

Therefore

\begin{aligned} &(1+\tan A)(1+\tan B)\\ &\quad=1+(1-\tan A\tan B)\\ &\qquad+\tan A\tan B\\ &\quad=2. \end{aligned}

Thus the correct answer is B.

El Problema 16 en otros años