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1987 AMC 12 第 15 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

15.

若

(x,y)

是方程组

\begin{aligned} xy&=6,\\ x^2y+xy^2+x+y&=63 \end{aligned}

的一个解，求

x^2+y^2

。

If

(x,y)

is a solution to the system

\begin{aligned} xy&=6,\\ x^2y+xy^2+x+y&=63, \end{aligned}

find

x^2+y^2.

13

\frac{1173}{32}

55

69

81

答案：D

知识点：symmetric expressions 因式分解方程组

难度评级：1470

小提示：

利用

x+y

分解第二个方程的左边

Factor the second equation using

x+y

大提示：

使用

x^2+y^2=(x+y)^2-2xy

Use

x^2+y^2=(x+y)^2-2xy

解答：

第二个方程可化为

\begin{aligned} xy(x+y)&+(x+y)\\ &=(xy+1)(x+y)\\ &=63 \end{aligned}\text{。}

由于

xy=6

，得到

x+y=9

。因此

\begin{aligned} x^2+y^2 &=(x+y)^2-2xy\\ &=81-12=69 \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 D。

The second equation becomes

\begin{aligned} xy(x+y)&+(x+y)\\ &=(xy+1)(x+y)\\ &=63. \end{aligned}

Since

xy=6,

we get

x+y=9.

Therefore

\begin{aligned} x^2+y^2 &=(x+y)^2-2xy\\ &=81-12=69. \end{aligned}

Thus the correct answer is D.

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