1974 AMC 12 第 15 题

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15.

若 x<−2x\lt-2,则 ∣1−∣1+x∣∣\bigl|1-|1+x|\bigr| 等于
If x<−2x\lt-2 then ∣1−∣1+x∣∣\bigl|1-|1+x|\bigr| equals
2+x2+x
−2−x-2-x
xx
−x-x
−2-2
答案:B
知识点:绝对值不等式
小提示:
利用 1+x<−11+x\lt-1 先化简内层绝对值
Resolve the inner absolute value first using 1+x<−11+x\lt-1
大提示:
将 ∣1+x∣|1+x| 替换为 −1−x-1-x 后,判断 2+x2+x 的符号
After replacing ∣1+x∣|1+x| by −1−x,-1-x, determine the sign of 2+x2+x
解答:
由于 x<−2x\lt-2,所以 1+x<01+x\lt0,从而 ∣1+x∣=−1−x|1+x|=-1-x。于是 ∣1−∣1+x∣∣\bigl|1-|1+x|\bigr| 化为 ∣1−(−1−x)∣|1-(-1-x)|,即 ∣2+x∣=−2−x|2+x|=-2-x,因为 2+x<02+x\lt0。
因此,正确答案是 B。
Since x<−2,x\lt-2, 1+x<0,1+x\lt0, so ∣1+x∣=−1−x.|1+x|=-1-x. Thus ∣1−∣1+x∣∣\bigl|1-|1+x|\bigr| becomes ∣1−(−1−x)∣,|1-(-1-x)|, which is ∣2+x∣=−2−x|2+x|=-2-x because 2+x<0.2+x\lt0.
Therefore, the correct answer is B.
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