In English En español

1969 AMC 12 第 15 题

先试着解答 1969 AMC 12 第 15 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 1969 AMC 12 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

15.

在圆心为

O

、半径为

r

的圆中，作弦

AB

，其长度为

r

个单位。从

O

向

AB

作垂线，交

AB

于

M

。从

M

向

OA

作垂线，交

OA

于

D

。用

r

表示，三角形

MDA

的面积为：

In a circle with center at

O

and radius

r,

chord

AB

is drawn with length equal to

r

units. From

O

a perpendicular to

AB

meets

AB

at

M.

From

M

a perpendicular to

OA

meets

OA

at

D.

In terms of

r,

the area of triangle

MDA,

in appropriate square units, is:

\dfrac{3r^2}{16}

\dfrac{\pi r^2}{16}

\dfrac{\pi r^2\sqrt2}{8}

\dfrac{r^2\sqrt3}{32}

\dfrac{r^2\sqrt6}{48}

答案：D

知识点：弦等边三角形特殊直角三角形三角形面积

难度评级：1720

小提示：

因为

OA=OB=AB=r

，三角形

OAB

为等边三角形

Because

OA=OB=AB=r,

triangle

OAB

is equilateral

大提示：

利用两个

30

-

60

-

90

三角形求

AD

与

MD

Use the two

30

-

60

-

90

triangles to find

AD

and

MD

解答：

三角形

OAB

为等边三角形。因为

OM\perp AB

，所以

M

是

AB

的中点，从而

AM=\frac{r}{2}

且

\angle OAM=60^\circ

。在直角三角形

AMD

中，斜边为

AM=\frac{r}{2}

，所以

AD=\frac r4,\qquad MD=\frac{r\sqrt3}{4}\text{。}

因此

\begin{aligned} [MDA]&=\frac12(AD)(MD)\\ &=\frac{r^2\sqrt3}{32} \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 D。

Triangle

OAB

is equilateral. Since

OM\perp AB,

M

is the midpoint of

AB,

so

AM=\frac{r}{2}

and

\angle OAM=60^\circ.

In right triangle

AMD,

the hypotenuse is

AM=\frac{r}{2},

giving

AD=\frac r4,\qquad MD=\frac{r\sqrt3}{4}.

Hence

\begin{aligned} [MDA]&=\frac12(AD)(MD)\\ &=\frac{r^2\sqrt3}{32}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is D.

其他年份的第 15 题