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1989 AMC 12 第 29 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

29.

求

\sum_{k=0}^{49}(-1)^k\binom{99}{2k}\text{，}

其中

\binom{n}{j}=\frac{n!}{j!(n-j)!}\text{。}

Find

\sum_{k=0}^{49}(-1)^k\binom{99}{2k},

where

\binom{n}{j}=\frac{n!}{j!(n-j)!}.

-2^{50}

-2^{49}

0

2^{49}

2^{50}

答案：B

知识点：二项式定理复数单位根

难度评级：2760

小提示：

把

(-1)^k

识别为

i^{2k}

Recognize

(-1)^k

as

i^{2k}

大提示：

取

(1+i)^{99}

的二项式展开式的实部

Take the real part of the binomial expansion of

(1+i)^{99}

解答：

所求和是

(1+i)^{99}=2^{\frac{99}{2}}e^{\frac{99\pi i}{4}}

的实部。由于

99\equiv3\pmod8

，其实部为

\begin{aligned} 2^{\frac{99}{2}}\cos\frac{3\pi}{4} &=2^{\frac{99}{2}}\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)\\ &=-2^{49} \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 B。

The sum is the real part of

(1+i)^{99}=2^{\frac{99}{2}}e^{\frac{99\pi i}{4}}.

Since

99\equiv3\pmod8,

its real part is

\begin{aligned} 2^{\frac{99}{2}}\cos\frac{3\pi}{4} &=2^{\frac{99}{2}}\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)\\ &=-2^{49}. \end{aligned}

Thus the correct answer is B.