1957 AMC 12 Problema 32

Question

El mayor de los siguientes enteros que divide a cada término de la sucesión

1^5-1,

2^5-2,

3^5-3,

\ldots

n^5-n,

\ldots

es:

The largest of the following integers which divides each of the numbers of the sequence

1^5-1,

2^5-2,

3^5-3,

\ldots

n^5-n,

\ldots

is:

1

60

15

120

30

Respuesta: E

Conceptos:divisibilidad aritmética modular Pequeño teorema de Fermat

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Demuestra que

n^5-n

siempre es divisible entre

2,

3,

y

5

Show

n^5-n

is always divisible by

2,

3,

and

5

Pista grande:

Usa factores consecutivos para

2

y

3,

y residuos módulo

5

para el factor restante

Use consecutive factors for

2

and

3,

and residues modulo

5

for the remaining factor

Solución:

Factorizamos

\begin{aligned} n^5-n &=n(n-1)(n+1)\\ &\quad\cdot(n^2+1). \end{aligned}

Entre tres enteros consecutivos, uno es divisible entre

3

y al menos uno es par, por lo que la expresión es divisible entre

6.

Además,

n^5\equiv n\pmod5

para todo entero

n,

así que es divisible entre

5.

Por consiguiente, cada término es divisible entre

30.

Al tomar

n=2

se obtiene

2^5-2=30,

por lo que ningún entero mayor de la lista puede dividir a todos los términos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Factor

\begin{aligned} n^5-n &=n(n-1)(n+1)\\ &\quad\cdot(n^2+1). \end{aligned}

Among three consecutive integers, one is divisible by

3

and at least one is even, so the expression is divisible by

6.

Also

n^5\equiv n\pmod5

for every integer

n,

so it is divisible by

5.

Hence every term is divisible by

30.

Taking

n=2

gives

2^5-2=30,

so no larger listed integer can divide every term.

Thus, the correct answer is E.