1957 AMC 12 Problema 30

Question

La suma de los cuadrados de los primeros

n

enteros positivos está dada por

\dfrac{n(n+c)(2n+k)}6,

si

c

y

k

son, respectivamente:

The sum of the squares of the first

n

positive integers is given by the expression

\dfrac{n(n+c)(2n+k)}6,

if

c

and

k

are, respectively:

1

y

2

1

and

2

3

y

5

3

and

5

2

y

2

2

and

2

1

y

1

1

and

1

2

y

1

2

and

1

Respuesta: D

Conceptos:suma de los primeros n cuadrados polinomio

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Compara la expresión con la fórmula estándar de la suma de cuadrados

Compare the expression with the standard sum-of-squares formula

Pista grande:

Como alternativa, sustituye

n=1

y

n=2

para obtener dos ecuaciones

Alternatively, substitute

n=1

and

n=2

to obtain two equations

Solución:

La fórmula estándar es

\begin{aligned} 1^2+2^2+\cdots+n^2 &=\frac{n(n+1)}6\\ &\quad\cdot(2n+1). \end{aligned}

Por lo tanto,

c=1

y

k=1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The standard formula is

\begin{aligned} 1^2+2^2+\cdots+n^2 &=\frac{n(n+1)}6\\ &\quad\cdot(2n+1). \end{aligned}

Therefore

c=1

and

k=1.

Thus, the correct answer is D.