1959 AMC 12 Problema 31

Question

Considérese un cuadrado de área

40,

inscrito en un semicírculo. El área de un cuadrado que podría inscribirse en el círculo completo con el mismo radio es:

A square, with an area of

40,

is inscribed in a semicircle. The area of a square that could be inscribed in the entire circle with the same radius is:

80

100

120

160

200

Sea

s

el lado del primer cuadrado y coloca su lado inferior sobre el diámetro del semicírculo

Let the first square have side

s

and place its lower side on the semicircle’s diameter

Respecto del centro, un vértice superior tiene coordenada horizontal

\frac{s}{2}

y coordenada vertical

s

A top vertex has horizontal coordinate

\frac{s}{2}

and vertical coordinate

s

relative to the center

Sean

r

el radio del semicírculo y

s

el lado del cuadrado, donde

s^2=40.

Un vértice superior del cuadrado está a

\frac{s}{2}

horizontalmente y

s

verticalmente del centro, así que

r^2=s^2+\left(\frac s2\right)^2=\frac54s^2=50.

Un cuadrado inscrito en el círculo completo tiene diagonal

2r,

y por tanto área

2r^2=100.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the semicircle have radius

r

and the square have side

s,

where

s^2=40.

A top vertex of the square is

\frac{s}{2}

horizontally and

s

vertically from the center, so

r^2=s^2+\left(\frac s2\right)^2=\frac54s^2=50.

A square inscribed in the full circle has diagonal

2r,

hence area

2r^2=100.

Thus, the correct answer is B.

El Problema 31 en otros años