1962 AMC 12 Problema 32

Question

Si

x_{k+1}=x_k+\dfrac12

para

k=1,

2,

\ldots,

n-1

y

x_1=1,

halla

x_1+x_2+\cdots+x_n.

If

x_{k+1}=x_k+\dfrac12

for

k=1,

2,

\ldots,

n-1

and

x_1=1,

find

x_1+x_2+\cdots+x_n.

\dfrac{n+1}{2}

\dfrac{n+3}{2}

\dfrac{n^2-1}{2}

\dfrac{n^2+n}{4}

\dfrac{n^2+3n}{4}

La recurrencia define una sucesión aritmética con diferencia común

\frac{1}{2}

The recurrence defines an arithmetic sequence with common difference

\frac{1}{2}

Halla

x_n

y luego usa

\frac{n(x_1+x_n)}{2}

Find

x_n

, then use

\frac{n(x_1+x_n)}{2}

Tenemos

x_n=1+\frac{n-1}{2}=\frac{n+1}{2}.

Por lo tanto,

\begin{aligned} x_1+\cdots+x_n &=\frac n2\left(1+\frac{n+1}{2}\right)\\ &=\frac{n^2+3n}{4}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

We have

x_n=1+\frac{n-1}{2}=\frac{n+1}{2}.

Therefore

\begin{aligned} x_1+\cdots+x_n &=\frac n2\left(1+\frac{n+1}{2}\right)\\ &=\frac{n^2+3n}{4}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is E.

El Problema 32 en otros años