1965 AMC 12 Problema 33

Question

Si el número

15!,

es decir,

15\cdot14\cdot13\cdots1,

termina en

k

ceros cuando se expresa en base

12

y en

h

ceros cuando se expresa en base

10,

entonces

k+h

es igual a:

If the number

15!,

that is,

15\cdot14\cdot13\cdots1,

ends with

k

zeros when given to the base

12

and ends with

h

zeros when given to the base

10,

then

k+h

equals:

5

6

7

8

9

Respuesta: D

Conceptos:factorial ceros finales factorización en primos base numérica

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Cuenta las potencias de

2,

3,

y

5

en

15!

Count the powers of

2,

3,

and

5

in

15!

Pista grande:

Un cero en base

12

usa

2^2\cdot3

, mientras que un cero en base

10

usa

2\cdot5

A base-

12

zero uses

2^2\cdot3

, while a base-

10

zero uses

2\cdot5

Solución:

Las valuaciones primas son

\begin{gathered} v_2(15!)=11,\\ v_3(15!)=6,\\ v_5(15!)=3. \end{gathered}

Por tanto,

k=\min(\lfloor\frac{11}{2}\rfloor,6)=5

en base

12,

y

h=\min(11,3)=3

en base

10.

Así,

k+h=8.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The prime valuations are

\begin{gathered} v_2(15!)=11,\\ v_3(15!)=6,\\ v_5(15!)=3. \end{gathered}

Hence

k=\min(\lfloor\frac{11}{2}\rfloor,6)=5

in base

12,

and

h=\min(11,3)=3