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1967 AMC 12 Problema 32

Intenta el Problema 32 del 1967 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1967 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

32.

En el cuadrilátero

ABCD

, cuyas diagonales

AC

y

BD

se cortan en

O,

se tiene

BO=4,

OD=6,

AO=8,

OC=3,

y

AB=6.

La longitud de

AD

es:

In quadrilateral

ABCD

with diagonals

AC

and

BD

intersecting at

O,

BO=4,

OD=6,

AO=8,

OC=3,

and

AB=6.

The length of

AD

is:

9

10

6\sqrt3

8\sqrt2

\sqrt{166}

Respuesta: E

Conceptos:ley de los cosenos persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Usa el triángulo

AOB

para hallar

\cos\angle AOB

Use triangle

AOB

to find

\cos\angle AOB

Pista grande:

Los ángulos

AOB

y

AOD

son suplementarios

Angles

AOB

and

AOD

are supplementary

Solución:

En el triángulo

AOB,

\begin{aligned} \cos\angle AOB &=\frac{8^2+4^2-6^2}{2\cdot8\cdot4}\\ &=\frac{11}{16}. \end{aligned}

Por lo tanto,

\cos\angle AOD=-\frac{11}{16}.

Al aplicar la ley de los cosenos en el triángulo

AOD

, se obtiene

\begin{aligned} AD^2 &=8^2+6^2\\ &\quad+2(8)(6)\frac{11}{16}\\ &=166. \end{aligned}

Así que

AD=\sqrt{166}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

In triangle

AOB,

\begin{aligned} \cos\angle AOB &=\frac{8^2+4^2-6^2}{2\cdot8\cdot4}\\ &=\frac{11}{16}. \end{aligned}

Therefore

\cos\angle AOD=-\frac{11}{16}.

Applying the law of cosines in triangle

AOD

gives

\begin{aligned} AD^2 &=8^2+6^2\\ &\quad+2(8)(6)\frac{11}{16}\\ &=166. \end{aligned}

Hence

AD=\sqrt{166}.

Therefore, the correct answer is E.