1969 AMC 12 Problema 31

Question

Sea

OABC

un cuadrado unitario en el plano

xy

, con

O(0,0),

A(1,0),

B(1,1),

y

C(0,1).

Sean

u=x^2-y^2

y

v=2xy

las ecuaciones que definen una transformación del plano

xy

al plano

uv

. La transformada (o imagen) del cuadrado es:

Let

OABC

be a unit square in the

xy

-plane with

O(0,0),

A(1,0),

B(1,1),

and

C(0,1).

Let

u=x^2-y^2

and

v=2xy

define a transformation of the

xy

-plane into the

uv

-plane. The transform (or image) of the square is:

Respuesta: D

Conceptos:geometría analítica parábola transformación

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Halla la imagen de los cuatro vértices y luego transforma cada lado por separado

Map the four vertices and then transform each side separately

Pista grande:

Los lados horizontales y verticales se convierten en dos segmentos y dos arcos parabólicos

The horizontal sides and vertical sides become two line segments and two parabolic arcs

Solución:

Los vértices se transforman así:

\begin{aligned} O&\mapsto(0,0),\\ A&\mapsto(1,0),\\ B&\mapsto(0,2),\\ C&\mapsto(-1,0). \end{aligned}

El lado

OA

se transforma en el segmento de

(0,0)

a

(1,0),

y

CO

en el segmento de

(-1,0)

a

(0,0).

En

AB,

x=1,

por lo que

u=1-\frac{v^2}{4};

en

BC,

y=1,

por lo que

u=\frac{v^2}{4}-1.

Estos son los dos arcos parabólicos superiores que unen

(\pm1,0)

con

(0,2).

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The vertices map as

\begin{aligned} O&\mapsto(0,0),\\ A&\mapsto(1,0),\\ B&\mapsto(0,2),\\ C&\mapsto(-1,0). \end{aligned}

Side

OA

maps to the segment from

(0,0)

to

(1,0),

and

CO