1969 AMC 12 Problema 30

Question

Sea

P

un punto de la hipotenusa

AB

(o de su prolongación) del triángulo rectángulo isósceles

ABC.

Sea

s=AP^2+PB^2.

Entonces:

Let

P

be a point of hypotenuse

AB

(or its extension) of isosceles right triangle

ABC.

Let

s=AP^2+PB^2.

Then:

s\lt2CP^2

para un número finito de posiciones de

P

s\lt2CP^2

for a finite number of positions of

P

s\lt2CP^2

para un número infinito de posiciones de

P

s\lt2CP^2

for an infinite number of positions of

P

s=2CP^2

solo si

P

es el punto medio de

AB

o un extremo de

AB

s=2CP^2

only if

P

is the midpoint of

AB

or an endpoint of

AB

s=2CP^2

siempre

s=2CP^2

always

s\gt2CP^2

si

P

es un punto de trisección de

AB

s\gt2CP^2

if

P

is a trisection point of

AB

Respuesta: D

Conceptos:geometría analítica fórmula de la distancia triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Coloca el punto medio de

AB

en el origen y

AB

sobre el eje

x

Put the midpoint of

AB

at the origin and

AB

on the

x

-axis

Pista grande:

Usa

A=(-a,0),

B=(a,0),

C=(0,a)

y

P=(p,0)

Use

A=(-a,0),

B=(a,0),

C=(0,a),

and

P=(p,0)

Solución:

Toma

A=(-a,0),

B=(a,0),

C=(0,a)

y

P=(p,0).

Esto describe todos los puntos de la recta que contiene la hipotenusa. Entonces,

\begin{aligned} s&=(p+a)^2+(p-a)^2\\ &=2p^2+2a^2,\\ 2CP^2&=2(p^2+a^2)\\ &=2p^2+2a^2. \end{aligned}

Por lo tanto,

s=2CP^2

para toda posición de

P.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Take

A=(-a,0),

B=(a,0),

C=(0,a),

and

P=(p,0).

This describes every point on the hypotenuse line. Then

\begin{aligned} s&=(p+a)^2+(p-a)^2\\ &=2p^2+2a^2,\\ 2CP^2&=2(p^2+a^2)\\ &=2p^2+2a^2. \end{aligned}

Thus

s=2CP^2

for every position of

P.

Therefore, the correct answer is D.