1970 AMC 12 Problema 4

Question

Sea

S

el conjunto de todos los números que son la suma de los cuadrados de tres enteros consecutivos. Entonces podemos afirmar que:

Let

S

be the set of all numbers which are the sum of the squares of three consecutive integers. Then we can say that:

Ningún elemento de

S

es divisible por

2

No member of

S

is divisible by

2

Ningún elemento de

S

es divisible por

3

, pero algún elemento es divisible por

11

No member of

S

is divisible by

3

but some member is divisible by

11

Ningún elemento de

S

es divisible por

3

ni por

5

No member of

S

is divisible by

3

or by

5

Ningún elemento de

S

es divisible por

3

ni por

7

No member of

S

is divisible by

3

or by

7

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: B

Conceptos:aritmética modular divisibilidad manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Escribe los enteros como

n-1,n,n+1

Write the integers as

n-1,n,n+1

Pista grande:

La suma de sus cuadrados es

3n^2+2;

examínala módulo

3

y prueba un residuo módulo

11

Their squared sum is

3n^2+2;

examine it modulo

3

and test a residue modulo

11

Solución:

La suma es

\begin{gathered} (n-1)^2+n^2+(n+1)^2\\ =3n^2+2. \end{gathered}

Siempre es congruente con

2\pmod3,

así que ningún elemento de

S

es divisible por

3.

Por otro lado, al tomar

n=5

obtenemos

3(25)+2=77,

que es divisible por

11.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The sum is

\begin{gathered} (n-1)^2+n^2+(n+1)^2\\ =3n^2+2. \end{gathered}

It is always congruent to

2\pmod3,

so no member of

S

is divisible by

3.

On the other hand, taking

n=5

gives

3(25)+2=77,

which is divisible by

11.

Therefore, the correct answer is B.

1970 AMC 12 Problema 4

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años