1984 AMC 12 Problema 4

Question

Un rectángulo corta un círculo como se muestra:

AB=4,

BC=5

y

DE=3.

Entonces

EF

es igual a

A rectangle intersects a circle as shown:

AB=4,

BC=5

and

DE=3.

Then

EF

equals

6

7

\frac{20}{3}

8

9

Las mediatrices de las dos cuerdas paralelas pasan por el mismo centro

The perpendicular bisectors of the two parallel chords pass through the same center

Por tanto, los puntos medios de

BC

y

EF

tienen la misma posición horizontal

Therefore the midpoints of

BC

and

EF

have the same horizontal position

La recta que pasa por el centro del círculo y es perpendicular a las cuerdas paralelas

BC

y

EF

biseca ambas. Medido desde el lado izquierdo del rectángulo, el punto medio de

BC

está en

4+\frac52,

mientras que el de

EF

está en

3+\frac{EF}{2}.

Por tanto,

4+\frac52=3+\frac{EF}{2},

lo que da

EF=7.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The line through the circle’s center perpendicular to the parallel chords

BC

and

EF

bisects both. Measured from the rectangle’s left side, the midpoint of

BC

is

4+\frac52,

while the midpoint of

EF

is

3+\frac{EF}{2}.

Thus

4+\frac52=3+\frac{EF}{2},

giving

EF=7.

Therefore, the correct answer is B.

El Problema 4 en otros años