1977 AMC 12 Problema 4

Question

En el triángulo

ABC,

se cumple que

AB=AC

y

\angle A=80^\circ.

Si los puntos

D,

E

y

F

están sobre los lados

BC,

AC

y

AB,

respectivamente, y

CE=CD

y

BF=BD,

entonces

\angle EDF

es igual a

In triangle

ABC,

AB=AC

and

\angle A=80^\circ.

If points

D,

E

and

F

lie on sides

BC,

AC

and

AB,

respectively, and

CE=CD

and

BF=BD,

then

\angle EDF

equals

30^\circ

40^\circ

50^\circ

65^\circ

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: C

Conceptos:triángulo isósceles persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Determina primero los dos ángulos de la base de

\triangle ABC

First determine the two base angles of

\triangle ABC

Pista grande:

Usa los dos pares de segmentos de igual longitud para hallar

\angle EDC

y

\angle BDF

Use the two given equal-length pairs to find

\angle EDC

and

\angle BDF

Solución:

Los ángulos de la base de

\triangle ABC

miden

50^\circ.

Como

CE=CD,

el triángulo

CED

tiene un ángulo vértice de

50^\circ,

por lo que

\angle EDC=65^\circ.

De manera análoga,

BF=BD

implica que

\angle BDF=65^\circ.

Los tres ángulos situados sobre la recta

CB

suman

180^\circ,

así que

\begin{aligned} \angle EDF&=180^\circ-65^\circ-65^\circ\\ &=50^\circ. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The base angles of

\triangle ABC

are each

50^\circ.

Since

CE=CD,

triangle

CED

has vertex angle

50^\circ,

so

\angle EDC=65^\circ.

Similarly,

BF=BD

gives

\angle BDF=65^\circ.

The three angles above the straight line

CB

sum to

180^\circ,

so

\begin{aligned} \angle EDF&=180^\circ-65^\circ-65^\circ\\ &=50^\circ. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is C.