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1952 AMC 12 第 3 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

3.

表达式

a^3-a^{-3}

等于：

The expression

a^3-a^{-3}

equals:

\left(a-\dfrac1a\right)\left(a^2+1+\dfrac1{a^2}\right)

\left(\dfrac1a-a\right)\left(a^2-1+\dfrac1{a^2}\right)

\left(a-\dfrac1a\right)\left(a^2-2+\dfrac1{a^2}\right)

\left(\dfrac1a-a\right)\left(\dfrac1{a^2}+1+a^2\right)

以上答案均不正确

None of these

答案：A

知识点：立方和与立方差指数因式分解

难度评级：1430

小提示：

将该表达式视为两个立方数之差

View the expression as a difference of two cubes

大提示：

使用

u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)

，其中

v=\frac{1}{a}

Use

u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)

with

v=\frac{1}{a}

解答：

在

u=a

和

v=\frac{1}{a}

时使用立方差公式。因为

uv=1

，所以

\begin{aligned} a^3-\frac1{a^3} &=\left(a-\frac1a\right)\\ &\quad{}\cdot\left(a^2+1+\frac1{a^2}\right) \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 A。

Apply the difference-of-cubes identity with

u=a

and

v=\frac{1}{a}.

Since

uv=1,

\begin{aligned} a^3-\frac1{a^3} &=\left(a-\frac1a\right)\\ &\quad{}\cdot\left(a^2+1+\frac1{a^2}\right). \end{aligned}

Thus, the correct answer is A.

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