1973 AMC 12 第 3 题

Question

强哥德巴赫猜想认为，任意大于

7

的偶数都可以表示成两个不同质数之和。在偶数

126

的这类表示中，两个质数之差的最大可能值为

注：通常的哥德巴赫猜想认为，任意大于

3

的偶数都可以表示成两个质数之和。这个猜想及其加强版都尚未得到证明或否证。

The stronger Goldbach conjecture states that any even integer greater than

7

can be written as the sum of two different prime numbers. For such representations of the even number

126,

the largest possible difference between the two primes is

Note: The regular Goldbach conjecture states that any even integer greater than

3

is expressible as a sum of two primes. Neither this conjecture nor the stronger version has been settled.

112

100

92

88

80

答案：B

知识点：质数最优化系统列举

难度评级：1360

小提示：

当和固定时，要使差最大，应使较小的质数尽可能小

For a fixed sum, maximize the difference by minimizing the smaller prime

大提示：

依次检验质数

3

、

5

、

7

、

11

、

13

、

\ldots

，直到它与

126

的差也是质数

Test the primes

3,

5,

7,

11,

13,

\ldots

until the complement to

126

is prime

解答：

对满足

p\lt q

且

p+q=126

的质数，差

q-p=126-2p

在

p

尽可能小时最大。

3

、

5

、

7

、

11

相应的补数分别为

123

、

121

、

119

、

115

，它们都不是质数。当

p=13

时，另一个数为

113

，它是质数。因此最大差为

113-13=100\text{。}

所以正确答案是 B。

For primes

p\lt q

with

p+q=126,

the difference

q-p=126-2p

is largest when

p

is as small as possible. The complements of

3,

5,

7,

and

11

are

123,

121,

119,

and

115,

none prime. For

p=13,

the complement is

113,

which is prime. Thus the largest difference is

113-13=100.

Therefore, the correct answer is B.

1973 AMC 12 第 3 题

答案：B

难度评级：1360

小提示：

大提示：

解答：

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