1957 AMC 12 第 32 题

Question

下列整数中，能整除数列

1^5-1

、

2^5-2

、

3^5-3

、

\ldots

、

n^5-n

、

\ldots

每一项的最大整数是：

The largest of the following integers which divides each of the numbers of the sequence

1^5-1,

2^5-2,

3^5-3,

\ldots

n^5-n,

\ldots

is:

1

60

15

120

30

答案：E

知识点：整除性模运算费马小定理

难度评级：1790

小提示：

证明

n^5-n

总能被

2

、

3

和

5

整除

Show

n^5-n

is always divisible by

2,

3,

and

5

大提示：

利用连续因子处理

2

与

3

，再用模

5

的余数处理剩余因子

Use consecutive factors for

2

and

3,

and residues modulo

5

for the remaining factor

解答：

因式分解得

\begin{aligned} n^5-n &=n(n-1)(n+1)\\ &\quad\cdot(n^2+1) \end{aligned}\text{。}

三个连续整数中有一个能被

3

整除，且至少有一个是偶数，所以该式能被

6

整除。又因为对每个整数

n

都有

n^5\equiv n\pmod5

，所以它也能被

5

整除。因此每一项都能被

30

整除。取

n=2

时，

2^5-2=30

，所以选项中没有更大的整数能整除每一项。

因此，正确答案是 E。

Factor

\begin{aligned} n^5-n &=n(n-1)(n+1)\\ &\quad\cdot(n^2+1). \end{aligned}

Among three consecutive integers, one is divisible by

3

and at least one is even, so the expression is divisible by

6.

Also

n^5\equiv n\pmod5

for every integer

n,

so it is divisible by

5.

Hence every term is divisible by

30.

Taking

n=2

gives

2^5-2=30,

so no larger listed integer can divide every term.

Thus, the correct answer is E.

1957 AMC 12 第 32 题

答案：E

难度评级：1790

小提示：

大提示：

解答：

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