1959 AMC 12 第 23 题

Question

方程

\log_{10}(a^2-15a)=2

的解集包含：

The set of solutions for the equation

\log_{10}(a^2-15a)=2

consists of:

两个整数

two integers

一个整数和一个分数

one integer and one fraction

两个无理数

two irrational numbers

两个非实数

two non-real numbers

没有数，即空集

no numbers, that is, the set is empty

将对数方程化为指数形式

Convert the logarithmic equation to exponential form

解

a^2-15a=100

，并检验对数的真数为正

Solve

a^2-15a=100

and check that the logarithm’s argument is positive

该方程等价于

a^2-15a=100\text{，}

即

(a-20)(a+5)=0

。因此

a=20

或

a=-5

。两种情况下对数的真数都是

100

，所以两个解都是有效的整数。

因此，正确答案是 A。

The equation is equivalent to

a^2-15a=100,

or

(a-20)(a+5)=0.

Thus

a=20

or

a=-5.

In both cases the logarithm’s argument is

100,

so both solutions are valid integers.

Therefore, the correct answer is A.

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