1959 AMC 12 第 2 题

Question

过三角形

ABC

内一点

P

作一条平行于底边

\overline{AB}

的直线，将三角形分成面积相等的两部分。若

\overline{AB}

边上的高为

1

，则点

P

到

\overline{AB}

的距离为：

Through a point

P

inside triangle

ABC

a line is drawn parallel to the base

\overline{AB},

dividing the triangle into two equal areas. If the altitude to

\overline{AB}

has length

1,

then the distance from

P

to

\overline{AB}

is:

\dfrac12

\dfrac14

2-\sqrt2

\dfrac{2-\sqrt2}{2}

\dfrac{2+\sqrt2}{8}

答案：D

知识点：相似面积比高线

难度评级：1360

小提示：

设

P

到底边的距离为

x

Let

x

be the distance from

P

to the base

大提示：

平行线上方小三角形的高为

1-x

，面积为原三角形的一半

The small triangle above the parallel line has altitude

1-x

and half the original area

解答：

设所求距离为

x

。平行线上方的三角形与原三角形相似，线性比为

1-x

。其面积为原三角形的一半，所以

(1-x)^2=\frac12\text{。}

因为

0\lt x\lt1

，所以

1-x=\frac{1}{\sqrt2}

，从而

x=1-\frac1{\sqrt2}=\frac{2-\sqrt2}{2}\text{。}

因此，正确答案是 D。

Let

x

be the requested distance. The triangle above the parallel line is similar to the original triangle, with linear ratio

1-x.

Its area is half the original area, so

(1-x)^2=\frac12.

Since

0\lt x\lt1,

we have

1-x=\frac{1}{\sqrt2},

and therefore

x=1-\frac1{\sqrt2}=\frac{2-\sqrt2}{2}.

Therefore, the correct answer is D.

1959 AMC 12 第 2 题

答案：D

难度评级：1360

小提示：

大提示：

解答：

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