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1967 AMC 12 第 2 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

2.

下列表达式

\begin{aligned} &\left(\frac{x^2+1}{x}\right) \left(\frac{y^2+1}{y}\right)\\ &\quad+ \left(\frac{x^2-1}{y}\right) \left(\frac{y^2-1}{x}\right),\\ &\qquad xy\ne0 \end{aligned}\text{，}

等于：

An equivalent of the expression

\begin{aligned} &\left(\frac{x^2+1}{x}\right) \left(\frac{y^2+1}{y}\right)\\ &\quad+ \left(\frac{x^2-1}{y}\right) \left(\frac{y^2-1}{x}\right),\\ &\qquad xy\ne0, \end{aligned}

is:

1

2xy

2x^2y^2+2

2xy+\dfrac{2}{xy}

\dfrac{2x}{y}+\dfrac{2y}{x}

答案：D

知识点：代数变形分数

难度评级：1450

小提示：

将每个乘积展开成四项

Expand each product into four terms

大提示：

寻找

\frac{x}{y}

项与

\frac{y}{x}

项的相消

Look for cancellation of the

\frac{x}{y}

and

\frac{y}{x}

terms

解答：

第一个乘积为

xy+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac1{xy}\text{，}

第二个乘积为

xy-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}+\frac1{xy}\text{。}

两者相加得到

2xy+\frac{2}{xy}

。

因此，正确答案是 D。

The first product is

xy+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac1{xy},

while the second is

xy-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}+\frac1{xy}.

Adding gives

2xy+\frac{2}{xy}.

Therefore, the correct answer is D.

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