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1960 AMC 12 第 22 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

22.

在等式

(x+m)^2-(x+n)^2=(m-n)^2

中，

m

和

n

是不相等的非零常数。若

x=am+bn

满足该等式，则：

The equality

(x+m)^2-(x+n)^2=(m-n)^2,

where

m

and

n

are unequal non-zero constants, is satisfied by

x=am+bn

where:

a=0

，且

b

有唯一的非零值

a=0,

b

has a unique non-zero value

a=0

，且

b

有两个非零值

a=0,

b

has two non-zero values

b=0

，且

a

有唯一的非零值

b=0,

a

has a unique non-zero value

b=0

，且

a

有两个非零值

b=0,

a

has two non-zero values

a

和

b

各有唯一的非零值

a

and

b

each have a unique non-zero value

答案：A

知识点：平方差一次方程换元法

难度评级：1280

小提示：

对两个平方之差进行因式分解

Factor the difference of the two squares

大提示：

约去非零因式

m-n

，再求

x

Cancel the nonzero factor

m-n

and solve for

x

解答：

利用

m\ne n

并因式分解，得

\begin{gathered} (m-n)(2x+m+n)\\ {}=(m-n)^2 \end{gathered}\text{。}

因此

2x+m+n=m-n

，所以

x=-n

。于是

a=0

，且

b=-1

，这是唯一的非零值。

因此，正确答案是 A。

Factoring and using

m\ne n

gives

\begin{gathered} (m-n)(2x+m+n)\\ {}=(m-n)^2. \end{gathered}

Hence

2x+m+n=m-n,

so

x=-n.

Thus

a=0

and

b=-1,

a unique nonzero value.

Therefore, the correct answer is A.

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