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1961 AMC 12 第 30 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

30.

若

\log_{10}2=a

且

\log_{10}3=b

，则

\log_5 12

等于：

If

\log_{10}2=a

and

\log_{10}3=b,

then

\log_5 12

equals:

\dfrac{a+b}{a+1}

\dfrac{2a+b}{a+1}

\dfrac{a+2b}{1+a}

\dfrac{2a+b}{1-a}

\dfrac{a+2b}{1-a}

答案：D

知识点：对数代数变形

难度评级：1280

小提示：

对常用对数使用换底公式

Use the change-of-base formula with common logarithms

大提示：

写出

12=2^2\cdot3

和

5=\frac{10}{2}

Write

12=2^2\cdot3

and

5=\frac{10}{2}

解答：

由换底公式，

\begin{aligned} \log_5 12 &=\frac{\log12}{\log5}\\ &=\frac{2\log2+\log3} {\log10-\log2}\\ &=\frac{2a+b}{1-a} \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 D。

By change of base,

\begin{aligned} \log_5 12 &=\frac{\log12}{\log5}\\ &=\frac{2\log2+\log3} {\log10-\log2}\\ &=\frac{2a+b}{1-a}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is D.