1962 AMC 12 第 15 题

Question

已知三角形

ABC

的底边

AB

的长度与位置固定。当顶点

C

沿一条直线移动时，三条中线的交点沿下列哪种轨迹移动：

Given triangle

ABC

with base

AB

fixed in length and position. As the vertex

C

moves on a straight line, the intersection point of the three medians moves on:

圆

a circle

抛物线

a parabola

椭圆

an ellipse

直线

a straight line

以上未列出的一条曲线

a curve here not listed

答案：D

知识点：重心变换向量

难度评级：1280

小提示：

重心位于从一个顶点到对边中点的中线上，距该顶点全长的三分之二处

The centroid lies two-thirds of the way from a vertex to the midpoint of the opposite side

大提示：

在

AB

固定时，把重心表示为一个定点加上

C

的位置向量的三分之一

With

AB

fixed, express the centroid as a fixed point plus one-third of the position vector of

C

解答：

也用

A

、

B

和

C

表示相应的位置向量。重心为

G=\frac{A+B+C}{3}\text{。}

因为

A

和

B

固定，所以这是将

C

的位置按

\frac{1}{3}

缩放后再平移。因此直线轨迹仍映射成直线轨迹。

所以正确答案是 D。

Let

A,

B,

and

C

also denote their position vectors. The centroid is

G=\frac{A+B+C}{3}.

Since

A

and

B

are fixed, this is a translation and scaling by

\frac{1}{3}

of the position of

C.

A straight-line locus therefore maps to a straight-line locus.

Thus, the correct answer is D.

1962 AMC 12 第 15 题

答案：D

难度评级：1280

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题