1962 AMC 12 第 23 题

Question

在三角形

ABC

中，

CD

是

AB

边上的高，

AE

是

BC

边上的高。若

AB

、

CD

和

AE

的长度已知，则

DB

的长度：

In triangle

ABC,

CD

is the altitude to

AB

and

AE

is the altitude to

BC.

If the lengths of

AB,

CD,

and

AE

are known, the length of

DB

is:

无法由所给信息确定

not determined by the information given

仅当

A

为锐角时才能确定

determined only if

A

is an acute angle

仅当

B

为锐角时才能确定

determined only if

B

is an acute angle

仅当

ABC

为锐角三角形时才能确定

determined only if

ABC

is an acute triangle

以上说法均不正确

none of these is correct

答案：E

知识点：三角形面积高线勾股定理

难度评级：1570

小提示：

利用两条已知的高，以两种方式计算三角形的面积

Compute the triangle’s area in two ways using the two known altitudes

大提示：

求出

BC

后，利用直角三角形

BCD

After finding

BC,

use right triangle

BCD

解答：

设

AB=c

、

CD=h

，且

AE=e

。令两个面积公式相等，得到

\frac12ch=\frac12(BC)e\text{，}

所以

BC=\frac{ch}{e}

。由于三角形

BCD

在

D

处为直角，

DB=\sqrt{BC^2-CD^2}\text{。}

无论原三角形是锐角、直角还是钝角三角形，这都能确定

DB

，所以前四个选项均不正确。

所以正确答案是 E。

Let

AB=c,

CD=h,

and

AE=e.

Equating two area formulas gives

\frac12ch=\frac12(BC)e,

so

BC=\frac{ch}{e}.

Since triangle

BCD

is right at

D,

DB=\sqrt{BC^2-CD^2}.

This determines

DB

whether the original triangle is acute, right, or obtuse, so none of the first four choices is correct.

Thus, the correct answer is E.

1962 AMC 12 第 23 题

答案：E

难度评级：1570

小提示：

大提示：

解答：

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