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1962 AMC 12 第 28 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

28.

满足方程

x^{\log_{10}x}=\frac{x^3}{100}

的

x

值集合为：

The set of

x

-values satisfying the equation

x^{\log_{10}x}=\frac{x^3}{100}

consists of:

仅

\dfrac1{10}

\dfrac1{10},

only

仅

10

10,

only

仅

100

100,

only

仅

10

或

100

10

or

100,

only

多于两个实数

more than two real numbers

答案：D

知识点：对数指数换元法二次方程

难度评级：1520

小提示：

对数要求

x\gt0

；令

y=\log_{10}x

The logarithm requires

x\gt0

; set

y=\log_{10}x

大提示：

两边取以

10

为底的对数，得到关于

y

的二次方程

Take base-

10

logarithms to obtain a quadratic in

y

解答：

令

y=\log_{10}x

，则

x=10^y

。两边取以

10

为底的对数，得到

y^2=3y-2\text{。}

因此

(y-1)(y-2)=0

，所以

x=10

或

x=100

。

所以正确答案是 D。

Set

y=\log_{10}x,

so

x=10^y.

Taking base-

10

logarithms gives

y^2=3y-2.

Hence

(y-1)(y-2)=0,

so

x=10

or

x=100.

Thus, the correct answer is D.