1966 AMC 12 Problema 16

Question

Si

\begin{gathered} \dfrac{4^x}{2^{x+y}}=8,\\ \dfrac{9^{x+y}}{3^{5y}}=243, \end{gathered}

x

y

y

son números reales, entonces

xy

es igual a:

If

\begin{gathered} \dfrac{4^x}{2^{x+y}}=8,\\ \dfrac{9^{x+y}}{3^{5y}}=243, \end{gathered}

x

and

y

are real numbers, then

xy

equals:

1\dfrac34

4

6

12

-4

Reescribe las dos ecuaciones con bases

2

y

3

Rewrite both equations with bases

2

and

3

Iguala exponentes para obtener dos ecuaciones lineales en

x

y

y

Equate exponents to obtain two linear equations in

x

and

y

La primera ecuación se convierte en

2^{x-y}=2^3,

por lo que

x-y=3.

La segunda se convierte en

3^{2x-3y}=3^5,

por lo que

2x-3y=5.

Al resolver se obtiene

y=1,

x=4,

y por ello

xy=4.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The first equation becomes

2^{x-y}=2^3,

so

x-y=3.

The second becomes

3^{2x-3y}=3^5,

so

2x-3y=5.

Solving gives

y=1,

x=4,

and hence

xy=4.

Therefore, the correct answer is B.

El Problema 16 en otros años