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1967 AMC 12 第 16 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

16.

乘积

(12)(15)(16)

中每个因数都用

b

进制表示，并且该乘积等于

b

进制的

3146

。设

s=12+15+16

，其中每一项都用

b

进制表示。则用

b

进制表示的

s

为：

Let the product

(12)(15)(16),

each factor written in base

b,

equal

3146

in base

b.

Let

s=12+15+16,

each term expressed in base

b.

Then

s,

in base

b,

is:

43

44

45

46

47

答案：B

知识点：进制多项式位值

难度评级：2130

小提示：

将三个因数与

3146_b

转换成关于

b

的多项式

Translate the three factors and

3146_b

into polynomials in

b

大提示：

所得三次方程的有效进制底数为

b=9

The resulting cubic has the valid base

b=9

解答：

乘积方程为

\begin{aligned} &(b+2)(b+5)(b+6)\\ &\qquad=3b^3+b^2+4b+6 \end{aligned}\text{。}

化简为

\begin{aligned} b^3-6b^2-24b-27&=0,\\ (b-9)(b^2+3b+3)&=0 \end{aligned}\text{。}

因此，有效的进制底数为

b=9

。所求的和为

3b+13=4b+4

，也就是

44_b

。

因此，正确答案是 B。

The product equation is

\begin{aligned} &(b+2)(b+5)(b+6)\\ &\qquad=3b^3+b^2+4b+6. \end{aligned}

It simplifies to

\begin{aligned} b^3-6b^2-24b-27&=0,\\ (b-9)(b^2+3b+3)&=0. \end{aligned}

Thus the valid base is

b=9.

The required sum is

3b+13=4b+4,

which is

44_b.

Therefore, the correct answer is B.

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