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1967 AMC 12 第 17 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

17.

若

r_1

与

r_2

是

x^2+px+8=0

的两个不同实根，则必有：

If

r_1

and

r_2

are the distinct real roots of

x^2+px+8=0,

then it must follow that:

\lvert r_1+r_2\rvert\gt4\sqrt2

\lvert r_1\rvert\gt3

或

\lvert r_2\rvert\gt3

\lvert r_1\rvert\gt3

or

\lvert r_2\rvert\gt3

\lvert r_1\rvert\gt2

且

\lvert r_2\rvert\gt2

\lvert r_1\rvert\gt2

and

\lvert r_2\rvert\gt2

r_1\lt0

且

r_2\lt0

r_1\lt0

and

r_2\lt0

\lvert r_1+r_2\rvert\lt4\sqrt2

答案：A

知识点：二次方程韦达定理不等式

难度评级：1180

小提示：

两个不同实根要求判别式为正

Distinct real roots require the discriminant to be positive

大提示：

使用

r_1+r_2=-p

Use

r_1+r_2=-p

解答：

判别式条件为

p^2-32\gt0

，所以

\lvert p\rvert\gt4\sqrt2

。由韦达定理，

r_1+r_2=-p

，因此

\lvert r_1+r_2\rvert=\lvert p\rvert\gt4\sqrt2\text{。}

因此，正确答案是 A。

The discriminant condition is

p^2-32\gt0,

so

\lvert p\rvert\gt4\sqrt2.

By Vieta’s formulas,

r_1+r_2=-p,

and therefore

\lvert r_1+r_2\rvert=\lvert p\rvert\gt4\sqrt2.

Therefore, the correct answer is A.

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