1967 AMC 12 Problema 16

Question

Sea el producto

(12)(15)(16),

con cada factor escrito en base

b,

igual a

3146

en base

b.

Sea

s=12+15+16,

con cada sumando expresado en base

b.

Entonces

s,

en base

b,

es:

Let the product

(12)(15)(16),

each factor written in base

b,

equal

3146

in base

b.

Let

s=12+15+16,

each term expressed in base

b.

Then

s,

in base

b,

is:

43

44

45

46

47

Respuesta: B

Conceptos:base numérica polinomio valor posicional

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Convierte los tres factores y

3146_b

en polinomios en

b

Translate the three factors and

3146_b

into polynomials in

b

Pista grande:

La cúbica resultante tiene la base válida

b=9

The resulting cubic has the valid base

b=9

Solución:

La ecuación del producto es

\begin{aligned} &(b+2)(b+5)(b+6)\\ &\qquad=3b^3+b^2+4b+6. \end{aligned}

Se simplifica a

\begin{aligned} b^3-6b^2-24b-27&=0,\\ (b-9)(b^2+3b+3)&=0. \end{aligned}

Así, la base válida es

b=9.

La suma requerida es

3b+13=4b+4,

que es

44_b.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The product equation is

\begin{aligned} &(b+2)(b+5)(b+6)\\ &\qquad=3b^3+b^2+4b+6. \end{aligned}

It simplifies to

\begin{aligned} b^3-6b^2-24b-27&=0,\\ (b-9)(b^2+3b+3)&=0. \end{aligned}

Thus the valid base is

b=9.

The required sum is

3b+13=4b+4,

which is

44_b.

Therefore, the correct answer is B.