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1967 AMC 12 第 32 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

32.

四边形

ABCD

的对角线

AC

与

BD

交于

O

，且

BO=4

、

OD=6

、

AO=8

、

OC=3

、

AB=6

。则

AD

的长度为：

In quadrilateral

ABCD

with diagonals

AC

and

BD

intersecting at

O,

BO=4,

OD=6,

AO=8,

OC=3,

and

AB=6.

The length of

AD

is:

9

10

6\sqrt3

8\sqrt2

\sqrt{166}

答案：E

知识点：余弦定理导角

难度评级：1690

小提示：

利用三角形

AOB

求

\cos\angle AOB

Use triangle

AOB

to find

\cos\angle AOB

大提示：

角

AOB

与角

AOD

互为补角

Angles

AOB

and

AOD

are supplementary

解答：

在三角形

AOB

中，

\begin{aligned} \cos\angle AOB &=\frac{8^2+4^2-6^2}{2\cdot8\cdot4}\\ &=\frac{11}{16} \end{aligned}\text{。}

因此

\cos\angle AOD=-\frac{11}{16}

。在三角形

AOD

中应用余弦定理可得

\begin{aligned} AD^2 &=8^2+6^2\\ &\quad+2(8)(6)\frac{11}{16}\\ &=166 \end{aligned}\text{。}

所以

AD=\sqrt{166}

。

因此，正确答案是 E。

In triangle

AOB,

\begin{aligned} \cos\angle AOB &=\frac{8^2+4^2-6^2}{2\cdot8\cdot4}\\ &=\frac{11}{16}. \end{aligned}

Therefore

\cos\angle AOD=-\frac{11}{16}.

Applying the law of cosines in triangle

AOD

gives

\begin{aligned} AD^2 &=8^2+6^2\\ &\quad+2(8)(6)\frac{11}{16}\\ &=166. \end{aligned}

Hence

AD=\sqrt{166}.

Therefore, the correct answer is E.