1968 AMC 12 第 23 题

Question

若所有对数均为实数，则等式

\begin{aligned} \log(x+3)+\log(x-1)\\ =\log(x^2-2x-3) \end{aligned}

对下列哪种情形成立：

If all the logarithms are real numbers, the equality

\begin{aligned} \log(x+3)+\log(x-1)\\ =\log(x^2-2x-3) \end{aligned}

is satisfied for:

所有实数

x

all real values of

x

不存在实数

x

no real values of

x

除

x=0

外的所有实数

x

all real values of

x

except

x=0

除

x=0

外不存在实数

x

no real values of

x

except

x=0

除

x=1

外的所有实数

x

all real values of

x

except

x=1

合并左边的两个对数

Combine the two logarithms on the left

解所得代数方程，再检验其定义域

Solve the resulting algebraic equation, then test its domain

合并对数要求

(x+3)(x-1)=x^2-2x-3

。由此得到

x=0

。但此时

x-1=-1

，所以左边的对数不是实数。因此没有实数解。

因此，正确答案是 B。

Combining logarithms would require

(x+3)(x-1)=x^2-2x-3.

This gives

x=0.

But then

x-1=-1,

so the logarithm on the left is not real. Hence there are no real solutions.

Therefore, the correct answer is B.

其他年份的第 23 题