1968 AMC 12 Problema 29

Question

Dados los tres números

x,

y=x^x,

z=x^{(x^x)},

con

0.9\lt x\lt1.0.

Ordenados de menor a mayor, son:

Given the three numbers

x,

y=x^x,

z=x^{(x^x)},

with

0.9\lt x\lt1.0.

Arranged in order of increasing magnitude, they are:

x,

z,

y

x,

y,

z

y,

x,

z

y,

z,

x

z,

x,

y

Respuesta: A

Conceptos:exponente desigualdad

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Para

0\lt x\lt1,

compara las potencias mediante sus exponentes positivos

For

0\lt x\lt1,

compare powers by comparing their positive exponents

Pista grande:

Primero demuestra

x\lt x^x\lt1

y luego compara

x^{x^x}

First show

x\lt x^x\lt1

, then compare

x^{x^x}

Solución:

Como

0\lt x\lt1

y

x\lt1,

elevar

x

al exponente

x

da

x\lt y=x^x\lt1.

Para una base entre

0

y

1,

un exponente mayor produce un valor menor. Como

x\lt y\lt1,

tenemos

x=x^1\lt x^y=z\lt x^x=y.

Así,

x\lt z\lt y.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since

0\lt x\lt1

and

x\lt1,

raising

x

to the exponent

x

gives

x\lt y=x^x\lt1.

For a base between

0

and

1,

a larger exponent gives a smaller value. Because

x\lt y\lt1,

we have

x=x^1\lt x^y=z\lt x^x=y.

Thus

x\lt z\lt y.

Therefore, the correct answer is A.