1969 AMC 12 第 10 题

Question

到一个圆以及该圆的两条平行切线距离均相等的点共有：

The number of points equidistant from a circle and two parallel tangents to the circle is:

0

2

3

4

无限多个

infinite

答案：C

知识点：圆切线对称性

难度评级：1960

小提示：

到两条平行切线距离相等的点位于它们之间的中间平行线上

Points equidistant from the two parallel tangents lie on their midway parallel line

大提示：

在该直线上，比较到任一切线的距离与到圆的距离

On that line, compare distance to either tangent with distance to the circle

解答：

设圆心为

O

，半径为

r

。到两条平行切线距离相等的点必在它们的中线上，而该中线经过

O

。若该点到

O

的距离为

t

，则它到任一切线的距离为

r

，到圆的距离为

\lvert t-r\rvert

。因此

\lvert t-r\rvert=r

，得到

t=0

或

t=2r

。当

t=0

时有一个点，当

t=2r

时有两个点，共

3

个。

因此，正确答案是 C。

Let the circle have center

O

and radius

r.

A point equidistant from the two parallel tangents must lie on their midline, which passes through

O.

If its distance from

O

is

t,

its distance from either tangent is

r,

while its distance from the circle is

\lvert t-r\rvert.

Thus

\lvert t-r\rvert=r,

giving

t=0

or

t=2r.

There is one point with

t=0

and two with

t=2r,

for a total of

3.

Therefore, the correct answer is C.

1969 AMC 12 第 10 题

答案：C

难度评级：1960

小提示：

大提示：

解答：

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