1963 AMC 12 第 10 题

Question

在正方形内部取一点

P

，该正方形的边长为

a

，所取点到两个相邻顶点的距离以及到这两个顶点对边的距离都相等。若

d

表示这个公共距离，则

d

等于：

Point

P

is taken interior to a square with side-length

a

and such that it is equally distant from two consecutive vertices and from the side opposite these vertices. If

d

represents the common distance, then

d

equals:

\dfrac{3a}{5}

\dfrac{5a}{8}

\dfrac{3a}{8}

\dfrac{a\sqrt2}{2}

\dfrac a2

答案：B

知识点：正方形（几何）垂直平分线距离公式

难度评级：1730

小提示：

到两个相邻顶点距离相等，所以

P

在它们连线的垂直平分线上

The equal distances to two consecutive vertices put

P

on their perpendicular bisector

大提示：

若到对边的距离为

d

，利用两条直角边分别为

\frac{a}{2}

和

a-d

的直角三角形

If the distance to the opposite side is

d,

use a right triangle with legs

\frac{a}{2}

and

a-d

解答：

令对边的高度为

0

，两个顶点的高度为

a

。则

P=(\frac{a}{2},d)

。顶点距离与

d

相等，故

\left(\frac a2\right)^2+(a-d)^2=d^2\text{，}

所以

\frac{5a^2}{4}=2ad

，从而

d=\frac{5a}{8}

。

所以正确答案是 B。

Place the opposite side at height

0

and the two vertices at height

a.

Then

P=(\frac{a}{2},d).

Equality of the vertex distance and

d

gives

\left(\frac a2\right)^2+(a-d)^2=d^2,

so

\frac{5a^2}{4}=2ad

and

d=\frac{5a}{8}.

Thus, the correct answer is B.

1963 AMC 12 第 10 题

答案：B

难度评级：1730

小提示：

大提示：

解答：

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