1976 AMC 12 第 10 题

Question

若

m

、

n

、

p

和

q

都是实数，且

f(x)=mx+n

、

g(x)=px+q

，则方程

f(g(x))=g(f(x))

有解的充要条件为

If

m,

n,

p

and

q

are real numbers and

f(x)=mx+n

and

g(x)=px+q,

then the equation

f(g(x))=g(f(x))

has a solution

任意

m

、

n

、

p

、

q

均可

for all choices of

m,

n,

p

and

q

m=p

且

n=q

if and only if

m=p

and

n=q

mq-np=0

if and only if

mq-np=0

n(1-p)-q(1-m)=0

if and only if

n(1-p)-q(1-m)=0

(1-n)(1-p)

{}-(1-q)(1-m)=0

if and only if

(1-n)(1-p)

{}-(1-q)(1-m)=0

答案：D

知识点：函数一次方程代数变形

难度评级：1670

小提示：

先展开两个复合函数，再尝试解出

x

Expand both compositions before trying to solve for

x

大提示：

两边

x

的系数自动相同，只需比较常数项

The coefficients of

x

are automatically equal, leaving a condition on the constant terms

解答：

有

\begin{aligned} f(g(x))&=mpx+mq+n,\\ g(f(x))&=pmx+pn+q \end{aligned}\text{。}

对任意

x

，两边的

x

项都会消去，所以方程有解当且仅当

mq+n=pn+q

。整理得

n(1-p)-q(1-m)=0

。

所以正确答案是 D。

We have

\begin{aligned} f(g(x))&=mpx+mq+n,\\ g(f(x))&=pmx+pn+q. \end{aligned}

The

x

-terms cancel for every

x,

so a solution exists exactly when

mq+n=pn+q.

Rearranging gives

n(1-p)-q(1-m)=0.

Therefore, the correct answer is D.

1976 AMC 12 第 10 题

答案：D

难度评级：1670

小提示：

大提示：

解答：

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