In English En español

1989 AMC 12 第 10 题

先试着解答 1989 AMC 12 第 10 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 1989 AMC 12 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

10.

考虑递归定义的数列：

u_1=a

（其中初值为任意正数），且

u_{n+1}=-\frac{1}{u_n+1}

，其中

n=1

、

2

、

3

、

\ldots

。下列哪个

n

值必使

u_n=a

？

Consider the sequence defined recursively by

u_1=a

(any positive number), and

u_{n+1}=-\frac{1}{u_n+1},

n=1,

2,

3,

\ldots.

For which of the following values of

n

must

u_n=a?

14

15

16

17

18

答案：C

知识点：递推找规律分式方程

难度评级：1770

小提示：

用符号计算

u_2,u_3

和

u_4

Compute

u_2,u_3,

and

u_4

symbolically

大提示：

寻找变换

x\mapsto-\frac{1}{x+1}

的周期

Look for the period of the transformation

x\mapsto-\frac{1}{x+1}

解答：

直接代入得

\begin{aligned} u_2&=-\frac1{a+1},\\ u_3&=-\frac{a+1}{a},\\ u_4&=a \end{aligned}\text{。}

因此数列每

3

项重复一次，而且

u_n=a

恰在

n\equiv1\pmod3

时成立。选项中只有

16

符合。

所以正确答案是 C。

Direct substitution gives

\begin{aligned} u_2&=-\frac1{a+1},\\ u_3&=-\frac{a+1}{a},\\ u_4&=a. \end{aligned}

The sequence therefore repeats every

3

terms, so

u_n=a

whenever

n\equiv1\pmod3.

Among the choices, only

16

has that form.

Thus the correct answer is C.

其他年份的第 10 题