设 n 是正整数，则 (10^4n^2+8+1)^2 的十进制各位数字之和为

1975 AMC 12 第 10 题

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10.

设

n

是正整数，则

\left(10^{4n^2+8}+1\right)^2

的十进制各位数字之和为

The sum of the digits in base ten of

\left(10^{4n^2+8}+1\right)^2,

where

n

is a positive integer, is

4

4n

2+2n

4n^2

n^2+n+2

令

k=4n^2+8

，再计算

10^k+1

的平方

Set

k=4n^2+8

and square

10^k+1

三个非零数字位于不同数位，因此不会发生进位

The three nonzero digits occur in distinct places, so there are no carries

令

k=4n^2+8

，则

(10^k+1)^2=10^{2k}+2\cdot10^k+1\text{。}

它仅有的三个非零数字为

1,2,1

，所以各位数字之和为

4

。

因此，正确答案是 A。

For

k=4n^2+8,

(10^k+1)^2=10^{2k}+2\cdot10^k+1.

Its only nonzero digits are

1,2,1,

so their sum is

4.

Therefore, the correct answer is A.