1969 AMC 12 第 16 题

Question

用二项式定理展开

(a-b)^n

，其中

n\ge2

、

ab\ne0

。若令

a=kb

，其中

k

为正整数，展开式的第二项与第三项之和为零，则

n

等于：

When

(a-b)^n,

n\ge2,

ab\ne0,

is expanded by the binomial theorem, it is found that, when

a=kb,

where

k

is a positive integer, the sum of the second and third terms is zero. Then

n

equals:

\dfrac12k(k-1)

\dfrac12k(k+1)

2k-1

2k

2k+1

第二项与第三项分别为

-na^{n-1}b

和

\binom n2a^{n-2}b^2

The second and third terms are

-na^{n-1}b

and

\binom n2a^{n-2}b^2

代入

a=kb

，并约去公共的非零因子

Substitute

a=kb

and cancel the common nonzero factor

第二项与第三项之和为

-na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}2a^{n-2}b^2\text{。}

代入

a=kb

，再除以非零量

na^{n-2}b

，得

-k+\frac{n-1}{2}=0\text{。}

因此

n=2k+1

。

所以正确答案是 E。

The sum of the second and third terms is

-na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}2a^{n-2}b^2.

Substituting

a=kb

and dividing by the nonzero quantity

na^{n-2}b

gives

-k+\frac{n-1}{2}=0.

Therefore

n=2k+1.

Therefore, the correct answer is E.

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