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1969 AMC 12 第 17 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

17.

方程

2^{2x}-8\cdot2^x+12=0

的一个解是：

The equation

2^{2x}-8\cdot2^x+12=0

is satisfied by:

\log 3

\dfrac12\log 6

1+\log\dfrac34

1+\dfrac{\log3}{\log2}

以上都不是

none of these

答案：D

知识点：指数对数二次方程换元法

难度评级：1880

小提示：

令

t=2^x

，解关于

t

的二次方程

Let

t=2^x

and solve a quadratic in

t

大提示：

一个根为

t=6

；再取以

2

为底的对数

One root is

t=6

; take logarithms base

2

解答：

令

t=2^x

。于是

\begin{aligned} t^2-8t+12&=0,\\ (t-2)(t-6)&=0 \end{aligned}\text{。}

根

t=6

给出

\begin{aligned} x&=\log_2 6\\ &=1+\log_2 3\\ &=1+\frac{\log3}{\log2} \end{aligned}\text{。}

（方程还有一个解

x=1

，但它不在选项中。）

所以正确答案是 D。

Set

t=2^x.

Then

\begin{aligned} t^2-8t+12&=0,\\ (t-2)(t-6)&=0. \end{aligned}

The root

t=6

gives

\begin{aligned} x&=\log_2 6\\ &=1+\log_2 3\\ &=1+\frac{\log3}{\log2}. \end{aligned}

(The equation is also satisfied by

x=1,

which is not a listed choice.)

Therefore, the correct answer is D.

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