1971 AMC 12 第 29 题

先试着解答 1971 AMC 12 第 29 题,然后核对你的答案与精心整理的解答,解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 1971 AMC 12 解答,或核对答案。

所有题目均经美国数学协会(MAA)官方合法授权使用。

29.

给定数列 10111,10211,10311,10411,…,10n11, \begin{gathered} 10^{\frac{1}{11}},10^{\frac{2}{11}},10^{\frac{3}{11}},\\ 10^{\frac{4}{11}},\ldots,10^{\frac{n}{11}}\text{,} \end{gathered} 使前 nn 项之积大于 100,000100{,}000 的最小正整数 nn 为:
Given the progression 10111,10211,10311,10411,…,10n11, \begin{gathered} 10^{\frac{1}{11}},10^{\frac{2}{11}},10^{\frac{3}{11}},\\ 10^{\frac{4}{11}},\ldots,10^{\frac{n}{11}}, \end{gathered} the least positive integer nn such that the product of the first nn terms exceeds 100,000100{,}000 is:
77
88
99
1010
1111
答案:E
知识点:等比数列指数三角形数不等式
小提示:
各项相乘时,把指数相加
Add the exponents when multiplying the terms
大提示:
要求 n(n+1)22>5\frac{n(n+1)}{22}\gt5,注意等号并不满足条件
Require n(n+1)22>5\frac{n(n+1)}{22}\gt5, noting that equality is not enough
解答:
该乘积为 101+2+⋯+n11=10n(n+1)22。 10^{\frac{1+2+\cdots+n}{11}}=10^{\frac{n(n+1)}{22}}\text{。} 它大于 100,000=105100{,}000=10^5 当且仅当 n(n+1)>110n(n+1)\gt110。当 n=10n=10 时恰好相等,而 n=11n=11 时满足条件。
因此,正确答案为 E。
The product is 101+2+⋯+n11=10n(n+1)22. 10^{\frac{1+2+\cdots+n}{11}}=10^{\frac{n(n+1)}{22}}. It exceeds 100,000=105100{,}000=10^5 exactly when n(n+1)>110.n(n+1)\gt110. For n=10n=10 there is equality, while n=11n=11 works.
Therefore, the correct answer is E.
LIVE by Po-Shen Loh
LIVE项目

LIVE直播课程

Self-Paced录播课程

启明星Star计划

奖学金项目

关于我们

罗博深是谁?

邮件联系

订阅英文简报

加入我们

申请明星导师

For a more Thought Full world.

© 2026 Expii, Inc.