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1972 AMC 12 第 29 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

29.

若当

-1\lt x\lt1

时

f(x)=\log\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)

，则用

f(x)

表示的

f\left(\dfrac{3x+x^3}{1+3x^2}\right)

为：

If

f(x)=\log\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)

for

-1\lt x\lt1,

then

f\left(\dfrac{3x+x^3}{1+3x^2}\right)

in terms of

f(x)

is:

-f(x)

2f(x)

3f(x)

[f(x)]^2

[f(x)]^3-f(x)

答案：C

知识点：对数函数因式分解换元法

难度评级：1860

小提示：

把这个有理式代入

\frac{1+u}{1-u}

Substitute the rational expression into

\frac{1+u}{1-u}

大提示：

其分子和分母分别可分解为

(1+x)^3

与

(1-x)^3

Its numerator and denominator factor as

(1+x)^3

and

(1-x)^3

解答：

令

u=\frac{3x+x^3}{1+3x^2}

。则

\begin{aligned} \frac{1+u}{1-u} &=\frac{1+3x^2+3x+x^3} {1+3x^2-3x-x^3}\\ &=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3 \end{aligned}\text{。}

所以

f(u)=3\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=3f(x)\text{。}

因此，正确答案是 C。

Let

u=\frac{3x+x^3}{1+3x^2}.

Then

\begin{aligned} \frac{1+u}{1-u} &=\frac{1+3x^2+3x+x^3} {1+3x^2-3x-x^3}\\ &=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3. \end{aligned}

Consequently

f(u)=3\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=3f(x).

Therefore, the correct answer is C.