1972 AMC 12 Problema 29

Question

Si

f(x)=\log\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)

para

-1\lt x\lt1,

entonces

f\left(\dfrac{3x+x^3}{1+3x^2}\right)

, expresado en función de

f(x)

, es:

If

f(x)=\log\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)

for

-1\lt x\lt1,

then

f\left(\dfrac{3x+x^3}{1+3x^2}\right)

in terms of

f(x)

is:

-f(x)

2f(x)

3f(x)

[f(x)]^2

[f(x)]^3-f(x)

Sustituye la expresión racional en

\frac{1+u}{1-u}

Substitute the rational expression into

\frac{1+u}{1-u}

Su numerador y su denominador se factorizan como

(1+x)^3

y

(1-x)^3

Its numerator and denominator factor as

(1+x)^3

and

(1-x)^3

Sea

u=\frac{3x+x^3}{1+3x^2}.

Entonces

\begin{aligned} \frac{1+u}{1-u} &=\frac{1+3x^2+3x+x^3} {1+3x^2-3x-x^3}\\ &=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3. \end{aligned}

Por consiguiente,

f(u)=3\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=3f(x).

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

u=\frac{3x+x^3}{1+3x^2}.

Then

\begin{aligned} \frac{1+u}{1-u} &=\frac{1+3x^2+3x+x^3} {1+3x^2-3x-x^3}\\ &=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3. \end{aligned}

Consequently

f(u)=3\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=3f(x).

Therefore, the correct answer is C.

El Problema 29 en otros años