1973 AMC 12 第 27 题

Question

汽车

A

与

B

行驶相同的路程。汽车

A

以每小时

u

英里的速度行驶一半路程，以每小时

v

英里的速度行驶另一半。汽车

B

以每小时

u

英里的速度行驶一半时间，以每小时

v

英里的速度行驶另一半。汽车

A

的平均速度为每小时

x

英里，汽车

B

的平均速度为每小时

y

英里。则恒有

Cars

A

and

B

travel the same distance. Car

A

travels half that distance at

u

miles per hour and half at

v

miles per hour. Car

B

travels half the time at

u

miles per hour and half at

v

miles per hour. The average speed of Car

A

is

x

miles per hour and that of Car

B

is

y

miles per hour. Then we always have

x\le y

x\ge y

x=y

x\lt y

x\gt y

答案：A

知识点：调和平均数不等式代数变形

难度评级：1800

小提示：

汽车

A

的平均速度是

u

与

v

的调和平均数，而汽车

B

的平均速度是它们的算术平均数

Car

A

’s average is the harmonic mean of

u

and

v,

while Car

B

’s is their arithmetic mean

大提示：

将两个平均数相减，并把分子因式分解为平方

Subtract the two means and factor the numerator as a square

解答：

汽车

A

的等距离平均速度与汽车

B

的等时间平均速度分别为

x=\frac{2uv}{u+v}, \qquad y=\frac{u+v}{2}\text{。}

两者之差为

\begin{aligned} y-x &=\frac{(u+v)^2-4uv}{2(u+v)}\\ &=\frac{(u-v)^2}{2(u+v)}\\ &\ge0 \end{aligned}\text{。}

因此

x\le y

，当

u=v

时可取等号。

所以正确答案是 A。

Car

A

’s equal-distance average and Car

B

’s equal-time average are

x=\frac{2uv}{u+v}, \qquad y=\frac{u+v}{2}.

Their difference is

\begin{aligned} y-x &=\frac{(u+v)^2-4uv}{2(u+v)}\\ &=\frac{(u-v)^2}{2(u+v)}\\ &\ge0. \end{aligned}

Thus

x\le y,

with equality possible when

u=v.

Therefore, the correct answer is A.

1973 AMC 12 第 27 题

答案：A

难度评级：1800

小提示：

大提示：

解答：

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