1973 AMC 12 Problema 28

Question

Si

a,

b,

y

c

están en progresión geométrica con

1\lt a\lt b\lt c

y

n\gt1

es un entero, entonces

\log_a n,

\log_b n,

\log_c n

forman una sucesión

If

a,

b,

and

c

are in geometric progression (G.P.) with

1\lt a\lt b\lt c

and

n\gt1

is an integer, then

\log_a n,

\log_b n,

\log_c n

form a sequence

que es una progresión geométrica

which is a G.P.

que es una progresión aritmética

which is an arithmetic progression (A.P.)

en la que los recíprocos de los términos forman una progresión aritmética

in which the reciprocals of the terms form an A.P.

en la que el segundo y el tercer término son, respectivamente, las potencias

n

-ésimas del primero y del segundo

in which the second and third terms are the

n

th powers of the first and second respectively

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: C

Conceptos:logaritmo sucesión geométrica sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Toma recíprocos y usa

\dfrac1{\log_a n}=\log_n a

Take reciprocals and use

\dfrac1{\log_a n}=\log_n a

Pista grande:

Aplica logaritmos a la relación de progresión geométrica

b^2=ac

Apply logarithms to the geometric-progression relation

b^2=ac

Solución:

Por cambio de base,

\begin{aligned} \frac1{\log_a n}&=\log_n a,\\ \frac1{\log_b n}&=\log_n b,\\ \frac1{\log_c n}&=\log_n c. \end{aligned}

Como

a,

b,

c

están en progresión geométrica,

b^2=ac.

Al tomar logaritmos en base

n

se obtiene

2\log_n b=\log_n a+\log_n c.

Por lo tanto, los recíprocos de los tres términos dados forman una progresión aritmética.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

By change of base,

\begin{aligned} \frac1{\log_a n}&=\log_n a,\\ \frac1{\log_b n}&=\log_n b,\\ \frac1{\log_c n}&=\log_n c. \end{aligned}

Since

a,

b,

c

are in geometric progression,

b^2=ac.

Taking logarithms to base

n

gives

2\log_n b=\log_n a+\log_n c.

Hence the reciprocals of the three given terms form an arithmetic progression.

Therefore, the correct answer is C.