1975 AMC 12 第 22 题

Question

若

p

和

q

都是质数，且

x^2-px+q=0

有两个不同的正整数根，则下列哪些命题为真？

I. 两根之差为奇数。

II. 至少有一个根是质数。

III.

p^2-q

是质数。

IV.

p+q

是质数。

If

p

and

q

are primes and

x^2-px+q=0

has distinct positive integral roots, then which of the following statements are true?

I. The difference of the roots is odd.

II. At least one root is prime.

III.

p^2-q

is prime.

IV.

p+q

is prime.

只有

\mathrm{I}

\mathrm{I}

only

只有

\mathrm{II}

\mathrm{II}

only

只有

\mathrm{II}

和

\mathrm{III}

\mathrm{II}

and

\mathrm{III}

only

只有

\mathrm{I}

、

\mathrm{II}

和

\mathrm{IV}

\mathrm{I},

\mathrm{II}

and

\mathrm{IV}

only

全部为真。

All are true.

答案：E

知识点：韦达定理质数因数

难度评级：1830

小提示：

两个正整数根的乘积是质数

q

The product of the two positive integer roots is the prime

q

大提示：

两根必为

1,q

，而它们的和为质数迫使

q=2

The roots must be

1,q,

and their prime sum forces

q=2

解答：

两个正整数根的乘积为

q

，所以两根是

1

和

q

。它们的和为

p=q+1

，只有当

q=2

时这个和才是质数，此时

p=3

，两根为

1,2

。两根之差为

1

，其中一个根是质数，

p^2-q=7

，且

p+q=5

；因此四个命题全部成立。

因此，正确答案是 E。

The positive integer roots have product

q,

so they are

1

and

q.

Their sum is

p=q+1,

which is prime only when

q=2,

giving

p=3

and roots

1,2.

Their difference is

1,

one root is prime,

p^2-q=7,

and

p+q=5;

therefore all four statements hold.

Therefore, the correct answer is E.

1975 AMC 12 第 22 题

答案：E

难度评级：1830

小提示：

大提示：

解答：

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