1975 AMC 12 第 26 题

Question

在锐角三角形

ABC

中，

\angle A

的角平分线与边

BC

交于

D

。以

B

为圆心、

BD

为半径的圆与边

AB

交于

M

；以

C

为圆心、

CD

为半径的圆与边

AC

交于

N

。则恒有

In acute triangle

ABC

the bisector of

\angle A

meets side

BC

at

D.

The circle with center

B

and radius

BD

intersects side

AB

at

M;

and the circle with center

C

and radius

CD

intersects side

AC

at

N.

Then it is always true that

\begin{aligned}\angle CND+\angle BMD\\{}-\angle DAC=120^\circ\end{aligned}

AMDN

是梯形

AMDN

is a trapezoid

BC

平行于

MN

BC

is parallel to

MN

AM-AN=\frac{3(DB-DC)}2

AB-AC=\frac{3(DB-DC)}2

答案：C

知识点：角平分线定理比与比例平行线

难度评级：1770

小提示：

利用

BM=BD,\ CN=CD

及角平分线定理

Use

BM=BD,\ CN=CD,

and the angle bisector theorem

大提示：

证明

\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}

，再应用三角形一边平行线判定定理

Show that

\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}

and apply the converse of the side-splitter theorem

解答：

由角平分线定理，

\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}\text{。}

因为

BM=BD

且

CN=CD

，所以

\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}

。因此，

M

与

N

在

AB

与

AC

上分别从

B

与

C

两端按相同比例分割，由三角形一边平行线判定定理可得

MN\parallel BC

。

因此，正确答案是 C。

The angle bisector theorem gives

\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}.

Since

BM=BD

and

CN=CD,

we have

\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}.

Therefore

M

and

N

divide

AB

and

AC

proportionally from

B

and

C,

so the converse of the side-splitter theorem gives

MN\parallel BC.

Therefore, the correct answer is C.

1975 AMC 12 第 26 题

答案：C

难度评级：1770

小提示：

大提示：

解答：

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